การแจกแจงทางทฤษฎี (Theoretical distribution) ที่ใช้ในอนุมานสถิติบ่อยๆ มีอยู่ 4 ประเภทด้วยกันคือ

1. การแจกแจงแบบโค้งปกติ (Normal distribution)

2. การแจกแจงแบบไคว์สแควร์ (Chi-square distribution)

3. การแจกแจงแบบ F (F-distribution)

4. การแจกแจงแบบ t (t-distrubution)

1. การแจกแจงแบบโค้งปกติ (Normal distribution)

การแจกแจงแบบโค้งปกติ เป็นการแจกแจงของข้อมูลที่ได้จากตัวแปร ที่มีลักษณะต่อเนื่อง (Continuous variable) โดยมีคุณสมบัติของโค้งปกติ ดังนี้

1. พื้นที่หรือความน่าจะเป็น (Probability) ภายใต้โค้งปกติมีค่าเท่ากับ 1

2. ความสูงของโค้งที่สูงที่สุดอยู่ที่ค่า µ

3.โค้งมีลักษณะเป็นรูประฆังคว่ำ สมมาตร และมีค่าเฉลี่ย มัธยฐาน และฐานนิยมเท่ากัน

4. ลักษณะการกระจายภายใต้โค้งปกติมีลักษณะที่ว่าในช่วงบวกลบ 1 เท่าของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจากค่าเฉลี่ยหรือจุดกลางของโค้ง (µ±1) มีพื้นที่ประมาณ 68% และ (µ±2) มีพื้นที่ประมาณ 95% และ (µ±3) มีพื้นที่ประมาณ 99%

คะแนนมาตรฐาน

ในการที่จะนำคะแนนแต่ละรายวิชาหรือต่างกลุ่มกันมาเปรียบเทียบกัน ไม่สามารถทำได้ ดังนั้นในการที่จะนำคะแนนมาเปรียบเทียบกันให้ได้ความหมายนั้น ทำได้โดยเปลี่ยนคะแนนดิบให้เป็นคะแนนมาตรฐาน ซึ่งคะแนนมาตรฐานแต่ละชนิดจะมีค่าเฉลี่ย และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคงที่

1. คะแนนมาตรฐาน Z (Z-Score) คือคะแนนมาตรฐานที่มีลักษณะการกระจายเหมือนกับการกระจายของคะแนนดิบ มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นหนึ่ง สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรดังนี้

(เพิ่มเติม…)

การสรุปลักษณะต่างๆ ของข้อมูลนั้น ใช้การวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลางเพียงอย่างเดียวไม่เพียงพอ จำเป็นที่จะต้องใช้การวัดการกระจายด้วยเพื่อให้ทราบว่าข้อมูลแต่ละชุดมีการกระจายแตกต่างกันอย่างไร โดยมีวิธีการดังนี้

1. พิสัย (Range) คือความแตกต่างระหว่างข้อมูลที่มีค่าสูงสุดกับข้อมูลที่มีค่าต่ำสุด การจัดการกระจายแบบนี้เป็นการวัดแบบหยาบๆ

2. ค่าเบี่ยงเบนควดไทล์ (Quartile deviation : Q.D.) คือค่าครึ่งหนึ่งของผลต่างระหว่างควอไทล์ที่ 3 กับควอไทล์ที่ 1 ใช้เมื่อข้อมูลนั้นมีการวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลางด้วยค่ามัธยฐาน

3. ค่าเบี่ยงเบนเฉลี่ย (Mean deviation : M.D.) คือค่าเฉลี่ยของค่าเบี่ยงเบนของข้อมูลแต่ละตัวที่เบี่ยงเบนไปจากค่าเฉลี่ยของข้อมูลชุดนั้น โดยไม่คำนึงถึงทิศทางหรือเครื่องหมาย การวัดการกระจายนี้ไม่นิยมใช้เพราะไม่คำนึงถึงเครื่องหมาย แต่ถ้าใช้จะใช้คู่กับค่าเฉลี่ย

4. ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard deviation : S.D.) คือ รากที่สองของค่าเฉลี่ยของกำลังสองของค่าเบี่ยงเบนของข้อมูลแต่ละตัวจากค่าเฉลี่ยของข้อมูลชุดนั้น ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นค่าสถิติที่แก้ไขจุดอ่อนของการใช้ค่าเบี่ยงเบนเฉลี่ย โดยค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานนี้จะใช้คู่กับค่าเฉลี่ย

ความแปรปรวน (Variance) คือ ค่ากำลังสองของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

สรุปการเลือกใช้สถิติที่ใช้วัดการกระจายของข้อมูล

1. ในกรณีที่ต้องการดูการกระจายอย่างหยาบๆ ของข้อมูล และเพื่อความรวดเร็วใช้พิสัย แต่การใช้พิสัยจะบอกอะไรไม่ได้มากนัก

2. ในกรณีที่ใช้ค่ามัธยฐานเป็นค่าสถิติที่ใช้วัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง ควรใช้ค่าเบี่ยงเบนควอไทล์ เป็นสถิติที่ใช้วัดการกระจาย

3. ในกรณีที่ใช้ค่าเฉลี่ยเป็นสถิติในการวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง ควรใช้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นสถิติในการวัดการกระจาย

4. ค่าเบี่ยงเบนเฉลี่ยเป็นสถิติที่นักวิจัยไม่นิยมใช้ เพราะมีปัญหาในการที่ไม่นำเครื่องหมายมาพิจารณาด้วย

สัมประสิทธิ์การกระจาย (Coefficient of variation)

ในการเปรียบเทียบลักษณะการกระจายของข้อมูล 2 ชุดนั้น ถ้าข้อมูลทั้งสองชุดมีค่าเฉลี่ยหรือมัธยฐานใกล้เคียงกัน ใช้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน หรือค่าเบี่ยงเบนควอไทล์ในการเปรียบเทียบการกระจายของข้อมูลได้เลย แต่ถ้าข้อมูลสองชุดนั้นมีค่าเฉลี่ยหรือมัธยฐานต่างกัน สถิติที่เหมาะสมในการเปรียบเทียบการกระจายของข้อมูล คือ สัมประสิทธิ์การกระจาย

คุณสมบัติทางพีชคณิตของค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน

1. ค่าเฉลี่ยของผลบวกของตัวแปรต่างๆ ที่เป็นอิสระต่อกันมีค่าเท่ากับผลบวกของค่าเฉลี่ยของตัวแปรเหล่านั้น

2. ความแปรปรวนของผลบวกของตัวแปรต่างๆ ที่เป็นอิสระต่อกันมีค่าเท่ากับผลบวกของความแปรปรวนของตัวแปรเหล่านั้น

3. บวกหรือลบค่าคงที่ทุกๆ ค่าของตัวแปรชุดใดๆ ค่าเฉลี่ยของตัวแปรชุดใหม่มีค่าเท่ากับค่าเฉลี่ยของตัวแปรชุดเดิม บวกหรือลบด้วยค่าคงที่นั้น และค่าความแปรปรวนไม่เปลี่ยนแปลง

4. คูณหรือหารทุกๆ ค่าของตัวแปรชุดใดๆ ด้วยค่าคงที่ ค่าเฉลี่ยของตัวแปรชุดใหม่มีค่าเท่ากับค่าเฉลี่ยของตัวแปรชุดเดิมคูณด้วยค่าคงที่นั้น และค่าความแปรปรวนของข้อมูลชุดใหม่มีค่าเท่ากับค่าความแปรปรวนของตัวแปรชุดเดิม คูณด้วยกำลังสองของค่าคงที่

การวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง

การสรุปลักษณะของข้อมูลโดยทั่วไป จะคำนึงถึงลักษณะ 2 ประการ คือ ค่าที่เป็นตัวแทนของข้อมูลแต่ละชุด และลักษณะการกระจายของข้อมูล โดยการหาค่าสถิติที่ทีเป็นตัวแทนของข้อมูลแต่ละชุด คือ การวัดแนวโน้มสู่ส่วนกลาง โดยมีค่าสถิติที่นิยมใช้ได้แก่ ค่าเฉลี่ย มัธยฐาน และฐานนิยม

ความสัมพันธ์ระหว่างค่าเฉลี่ย มัธยฐานและฐานนิยมในลักษณะการแจกแจงต่างๆ

1. ถ้าข้อมูลมีลักษณะการแจกแจงเป็นโค้งปกติ คือ เป็นโค้งที่มีลักษณะรูประฆัง ค่าเฉลี่ย มัธยฐานและฐานนิยม จะมีค่าเท่ากัน

2. ถ้าข้อมูลมีลักษณะการแจกแจงเบ้ไปทางขวา ค่าเฉลี่ยจะมากกว่ามัธยฐานและฐานนิยม

3. ถ้าข้อมูลมีลักษณะการแจกแจงเบ้ไปทางซ้าย ค่าเฉลี่ยจะน้อยกว่ามัธยฐานและฐานนิยม

สรุปลักษณะและการใช้สถิติที่ใช้วัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง

1. ค่าเฉลี่ย (Mean) เป็นค่าสถิติที่ใช้กับข้อมูลชนิดข้อมูลอันตรภาคและข้อมูลอัตราส่วน

2. มัธยฐาน (Median) เป็นค่าสถิติที่ใช้กับข้อมูลชนิดข้อมูลเรียงลำดับ ข้อมูลอันตรภาค และข้อมูลอัตราส่วน

3. ฐานนิยม (Mode) เป็นค่าสถิติที่ใช้กับข้อมูลได้ทุกชนิด เป็นค่าสถิติที่หาง่ายที่สุด แต่เป็นตัวแทนที่มีความหมายน้อยที่สุด มีความคงที่น้อยที่สุด และในการประมาณค่าพารามิเตอร์ ค่าฐานนิยมจะใกล้เคียงความจริงน้อยที่สุด